無理数と無限大(∞,NaN)が数値であることの証明(計算可能であるということ)

初めに、「無理数」とは小数部が永遠に続く数や値のことです。また、「無限大(=∞)」とは、整数にしろ実数にしろ、これも無限に続く数や値のことです。

ここで、無理数にしても無限大にしても、任意の精度(=有限の桁数)で表さないことには計算・演算の対象たり得ません。

したがって、無理数や無限大は記号の上では無限の精度を持ちますが、いざ計算や演算をする段階に入ると、嫌が否にも、任意の精度で表す(=実用上充分と思われる有限の桁数に落とす)しか仕様がありません。

つまりは、数や値というものは、記号の上では無限の精度を持ちながらも、計算や演算の上では、有限の精度に変換せざるを得ない場合があるということです。

※ここが数学の難しさであり、また数学のロマンといってもいいでしょう(笑)。

※ただし、(記号の上で、)無限の精度を持つものとしては、無限大があるといいましたが、これは、(無限大を)'極限'や'級数'と組み合わせてつかうことを指します。

最後に、やや話が本筋からそれますが、「0.333...3」(=小数部が循環するので、これは有理数)などの無限の精度を持つ数や値は、積極的に、「1/3」といった分数であらわすようにするといいでしょう。

※こうすることで、無用な混乱を避けられますし、第一、分数計算の対象になれば、紙の上や一部の電卓では、そのままの(元の)精度を維持したまま計算ができるからです。