イプシロン・デルタ論法の穴(関数の連続性の証明)

初めに、「イプシロン・デルタ論法」とは、数学上の関数の連続性を証明するための理論・ツールです。

しかし、よくよく考えてみると、この数学の理論・ツールは不完全であることがわかります。

なぜならば、実際の理論・ツールでは、関数の独立変数であるx1,x2との区間と、関数の従属変数であるy1,y2との区間の大きさを任意としているからです。

※ちなみに、このイプシロン・デルタ論法では、この条件式が関数のすべての区間について成立しなければならないという前提があります。

ここで、この区間の大きさ自体を問うことをやめて、この区間の'密度'に着目するのが適当です。

即ち、"関数の任意の区間が実数の密度を持つと考える"、ということです。

つまりは、(関数のすべての区間について、)それが実数の密度を持つとき、必ずや、その関数はなめらかで連続的な軌道を描くことがわかるからです。

これとは逆に、その関数の任意の区間が実数の密度を持たないときは、その関数が不連続であるということの証明になります。

最後に、現代数学には、まだまだ発展・発見の余地がありそうです。

※わたし(筆者個人)がここで言いたいのは、イプシロン・デルタ論法の発想・アイデアが根本的に間違っている、誤っているということではなく、あくまでも関数の線形性・連続性を証明するには不十分だったというだけのことです。

※ちなみに、不連続な関数系(＝カオスなシステム)では、(独立変数に対して、)従属変数が(飛び飛びの)離散的な値を取ることが(一般に)知られています。

※こういう関数系では、(その関数の)任意の区間の密度が、整数と等しいかそれ以上に疎な密度となります。

※ある関数についての任意の区間の密度を測るには、その関数の従属変数が(精度を問わず)実数(＝整数部に対して小数部を伴う形式の値)となるかを調べればいいことになります。